Skaldheim

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Homework Review

第二章 MOS器件基础

第一题

在饱和区时，推导 MOSFET 器件跨导 $g_{m}$ 的三种表达式，分析并画出以下三种情况的相应曲线。

(1) $W / L$ 不变时， $g_{m}$ 与 $(V_{G S} - V_{T H})$ 的变化曲线；

(2) $(V_{G S} - V_{T H})$ 不变时， $g_{m}$ 与 $I_{D}$ 的变化曲线；

(3) $I_{D}$ 不变时， $g_{m}$ 与 $W / L$ 的变化曲线；

表达式一： $g_{m}$ 与过驱动电压 $(V_{G S} - V_{T H})$ 的关系
我们将饱和区电流公式直接对 $V_{G S}$ 求偏导：
$g_{m} = \frac{\partial}{\partial V_{G S}} [\frac{1}{2} μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} (V_{G S} - V_{T H})^{2}]$ $g_{m} = \frac{1}{2} μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} \cdot 2 \cdot (V_{G S} - V_{T H})$
于是得到第一个表达式：
$g_{m} = μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} (V_{G S} - V_{T H})$
这个公式表明， $g_{m}$ 与过驱动电压 $V_{O V} = (V_{G S} - V_{T H})$ 成正比。
表达式二： $g_{m}$ 与漏极电流 $I_{D}$ 的关系
从饱和区电流公式中，我们可以解出 $(V_{G S} - V_{T H})$ ：
$(V_{G S} - V_{T H})^{2} = \frac{2 I_{D}}{μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L}} \Rightarrow (V_{G S} - V_{T H}) = \sqrt{\frac{2 I_{D}}{μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L}}}$
将这个结果代入到表达式一 $g_{m} = μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} (V_{G S} - V_{T H})$ 中：
$g_{m} = μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} \cdot \sqrt{\frac{2 I_{D}}{μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L}}}$ $g_{m} = \sqrt{(μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L})^{2} \cdot \frac{2 I_{D}}{μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L}}}$
于是得到第二个表达式：
$g_{m} = \sqrt{2 μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} I_{D}}$
这个公式表明， $g_{m}$ 与漏极电流 $I_{D}$ 的平方根成正比。
表达式三： $g_{m}$ 与 $I_{D}$ 和 $(V_{G S} - V_{T H})$ 的关系
这个表达式可以看作是前两个表达式的结合，非常简洁且有启发性。我们将表达式二 $g_{m} = \sqrt{2 μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} I_{D}}$ 两边平方：
$g_{m}^{2} = 2 μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} I_{D}$
同时，我们将饱和区电流公式 $I_{D} = \frac{1}{2} μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} (V_{G S} - V_{T H})^{2}$ 两边乘以 $2 μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L}$ ：
$2 μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} I_{D} = {(μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L})}^{2} (V_{G S} - V_{T H})^{2}$
结合上面两个式子，可以得到：
$g_{m}^{2} = {[μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} (V_{G S} - V_{T H})]}^{2}$
这其实又回到了表达式一。为了得到第三种形式，我们采取更直接的方式。从表达式一 $g_{m} = μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} (V_{G S} - V_{T H})$ 中，我们得到 $μ_{n} C_{o x} \frac{W}{L} = \frac{g_{m}}{V_{G S} - V_{T H}}$ 。将其代入饱和区电流公式：
$I_{D} = \frac{1}{2} (\frac{g_{m}}{V_{G S} - V_{T H}}) (V_{G S} - V_{T H})^{2} = \frac{1}{2} g_{m} (V_{G S} - V_{T H})$
整理后得到第三个表达式：
$g_{m} = \frac{2 I_{D}}{V_{G S} - V_{T H}}$

第二题

阐述 MOSFET 器件的沟道长度调制效应和体效应，并推导 MOSFET 器件在饱和区时的输出电阻 $r_{o}$ 。

第三章单级放大器

第五章电流镜与偏置技术

5.1

在图 5.2 中，假设 $(W / L)_{1} = 50 / 0.5, λ = 0, I_{o u t} = 0.5 m A$ ，且 $M_{1}$ 处在饱和区。 (a) 确定 $R_{2} / R_{1}$ 。 (b) 计算 $I_{o u t}$ 对 $V_{D D}$ 变化的灵敏度，定义为 $\frac{\partial I_{o u t}}{\partial V_{D D}}$ 且用 $I_{o u t}$ 归一化。 (c) 如果 $V_{t h}$ 变化了 50mV， $I_{o u t}$ 将变化多少？ (d) 如果 $μ_{n}$ 对温度的依赖性表述为 $μ_{n} \propto T^{- 3 / 2}$ ，但 $V_{t h}$ 与温度无关，如果 T 从 300°K 变化到 370°K， $I_{o u t}$ 将变化多少？ (e) 在 $V_{D D}$ 变化 10%， $V_{t h}$ 变化 50mV，T 从 300°K 变化到 370°K 这三种情况下，最坏情况下 $I_{o u t}$ 将变化多少？

解：
$\frac{W}{L} = \frac{50}{0.5}$ ， $λ = 0$ ， $I = 0.5 m A$ ， $K_{p} = μ C_{o x} = 137 \times 10^{- 4} \frac{A}{V^{2}}$ ， $L_{D} = 90 n m$
(a) $R_{2} / R_{1}$ $V_{G S 1} = V_{D D} \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \sqrt{\frac{2 I}{K_{p} \frac{W}{L}} + V_{t h}}$ ， $L^{'} = L - 2 L_{D}$
使 $R_{x} = R_{2} / R_{1}$ ， $R_{x} = \frac{\sqrt{\frac{2 I}{K_{p} W / L^{'}} + V_{t h}}}{V_{D D} - (\sqrt{\frac{2 I^{'}}{K_{p} W / L^{'}} + V_{t h}})} = 0.4386$
(b) $I_{0} = \frac{1}{2} μ C_{o x} \frac{W}{L^{'}} {(V_{D D} \frac{R_{x}}{1 + R_{x}} - V_{t h})}^{2}$
${(\frac{\partial I_{0}}{\partial V_{D D}})}_{I_{0}} = \frac{μ C_{o x} \frac{W}{L} (V_{D D} \frac{R_{x}}{1 + R_{x}} - V_{t h}) \frac{R_{x}}{1 + R_{x}}}{\frac{1}{2} μ C_{o x} \frac{W}{L} {(V_{D D} \frac{R_{x}}{1 + R_{x}} - V_{t h})}^{2}} = \frac{2}{V_{D D} - V_{t h} (1 + \frac{1}{R_{x}})} = 2.84$
(c) $\frac{\partial I_{0}}{\partial V_{t h}} = - μ C_{o x} \frac{W}{L} (V_{D D} \frac{R_{x}}{1 + R_{x}} - V_{t h})$ ， $Δ I_{0} = - μ C_{o x} \frac{W}{L} (V_{D D} \frac{R_{x}}{1 + R_{x}} - V_{t h}) Δ V_{t h} = - 233 μ A$ ，
$Δ I_{0} = I_{0} (V_{t h} = 0.75) - I_{0} (V_{t h} = 0.7) = - 205 μ A$
(d) $\frac{\partial I_{0}}{\partial T} = - \frac{3}{2} {(\frac{T}{T_{0}})}^{- 3 / 2} \cdot \frac{1}{T} \cdot I_{0}^{'}$ ， $T = T_{0} + Δ T$ ， $Δ I_{0} = - \frac{3}{2} {(\frac{T}{T_{0}})}^{- 3 / 2} \cdot \frac{1}{T} \cdot I_{0} Δ T = - 103 μ A$
$Δ I_{0} = I_{1} (T = 370 K) - I_{0} (T = 300 K) = - 135 μ A$
(e) $Δ I_{w o r s t c a s e} = I_{w o r s t c a s e} - I_{0}$ ，
$I_{w o r s t c a s e} = \frac{1}{2} μ_{0} {(\frac{T_{0} + Δ T}{T_{0}})}^{- 3 / 2} ((V_{D D} - Δ V_{D D}) \frac{R_{x}}{1 + R_{x}} - (V_{t h} + Δ V_{t h})) = 43 μ A$ ， $Δ I_{w o r s t c a s e} = - 457 μ A$

5.2

考虑图 5.6 的电路。假设 $I_{R E F}$ 是理想的，当 $V_{D D}$ 从 0 变化到 3V 时，画出 $I_{o u t} \sim V_{D D}$ 的草图。

Razavi 习题

3.29

在如图所示的共源共栅结构中，偏置电流为 0.5mA，输出电压摆幅为 1.9V。如果 $(W / L)_{1 - 4} = W / L$ 且 $γ = 0$ ，计算 $V_{b 1}$ ， $V_{b 2}$ 与 $W / L$ 。如果 $L = 0.5 μ m$ ，求此时的电压增益。

先根据电压摆幅确定偏置电压的一些关系：

V_{b 1} - V_{T H 1} < V_{o u t} < V_{b 2} + V_{T H 3} V_{b 2} + V_{T H 3} - (V_{b 1} - V_{T H 1}) = 1.9

V_{b 2} + 0.8 - V_{b 1} + 0.7 = 1.9 V_{b 2} - V_{b 1} = 0.4

利用串联电流相等，由于默认知道 $μ_{p}, μ_{n}, C_{o x}$ 的数值，所以可以求解 $\frac{W}{L}$ ：

0.5 \times 10^{- 3} = \frac{1}{2} μ_{n} C_{o x} S (V_{i n} - V_{T H 1})^{2} = \frac{1}{2} μ_{n} C_{o x} S (V_{b 1} - V_{x} - V_{T H 2})^{2} = \frac{1}{2} μ_{p} C_{o x} S (V_{y} - V_{b 2} - | V_{T H 3} |)^{2} = \frac{1}{2} μ_{p} C_{o x} S (V_{D D} - V_{b 3} - | V_{T H 4} |)^{2}

1.1 = 2 \sqrt{2 I_{D}} (\frac{1}{\sqrt{μ_{p} C_{o x}}} + \frac{1}{\sqrt{μ_{n} C_{o x}}}) \frac{1}{\sqrt{S}} \Rightarrow S = \frac{8 I_{D} {(\frac{1}{\sqrt{μ_{p} C_{o x}}} + \frac{1}{\sqrt{μ_{n} C_{o x}}})}^{2}}{{1.1}^{2}}

S = \frac{8 \times 0.5 \times 10^{- 3} {(\frac{1}{\sqrt{1.34225 \times 10^{- 4}}} + \frac{1}{\sqrt{3.835 \times 10^{- 5}}})}^{2}}{{1.1}^{2}} = 202.98 \Leftrightarrow S = 203

电压摆幅的第二种表示方式：

$V_{D D} - V_{S D m i n, 4} - V_{S D m i n, 3} - V_{D S m i n, 2} - V_{D S m i n, 1} = 1.9$

Knowledge summary

第三章单级放大器

共源极放大器

电阻负载

第七章噪声

噪声的统计特性

噪声瞬态不可预测，但平均功率固定：

平均功率： $P_{a v}$ (V $^{2}$ )，均方根： $\sqrt{P_{a v}} (V)$

P_{a v} = lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{+ T / 2} x^{2} (t) d t

(a) 频谱/功率谱密度 (PSD)

表示： $S_{x} (f)$
单位：V $^{2}$ /Hz
含义： $S_{x} (f)$ 表示频率 $f$ 附近 1Hz 带宽内 $x (t)$ 具有的平均功率
特性：线下面积为功率 $P$

(b) 白噪声

特点：在所关心的频带内呈平坦分布

(c) 系统传输

当 $S_{x} (f)$ 加在传输函数 $H (s = 2 π j f)$ 的线性时不变系统上： $S_{Y} (f) = S_{x} (f) | H (f) |^{2}$

电路中的噪声表示

输入参考噪声模型

将电路内部分散的所有噪声源，等效地“移动”到电路的最输入端，变成一个独立的噪声电压源和一个独立的噪声电流源。而原来的电路则被视为一个理想的、完全没有噪声的“黑盒子”。

输入参考噪声

输入参考噪声电压源 $V_{n, i n}^{2}$ ：与输入信号串联的噪声电压源。它代表了所有那些不依赖于信号源内阻的内部噪声源的等效集合。无论你用什么来驱动这个电路（例如，一个理想电压源），这部分噪声都存在。

输入参考噪声电流源 $I_{n, i n}^{2}$ ：与输入信号并联（或跨接）的噪声电流源。它代表了所有那些其影响与信号源内阻相关的内部噪声源的等效集合。这个电流源产生的噪声大小，取决于它流过了多大的阻抗（通常是你接入的信号源的内阻）。

这两个噪声源共同作用，在“无噪声电路”的输出端产生的总噪声，与原来那个“真实、有噪声的电路”在输出端产生的总噪声是完全一样的。

输入阻抗大→忽略 $I_{n, i n}^{2}$

NOTE

在我们的理想和低频模型中，MOSFET 的栅极是完全绝缘的，其输入阻抗被认为是无穷大。

单级放大器

分析MOSFET噪声时的一个极其重要的等效变换技巧。

\overset{―}{V_{n}^{2}} = \overset{―}{I_{n}^{2}} / g_{m}^{2}

核心问题：晶体管的噪声源在哪里？

MOSFET自身最主要的噪声来源——沟道热噪声。这是由于晶体管导通时，沟道内载流子（电子或空穴）进行不规则热运动所产生的。

在物理模型上，这个噪声最精确的表示式是一个电流源 $\overset{―}{i_{n}^{2}}$ ，连接在晶体管的漏极（Drain）和源极（Source）之间。这就是最左边第一个图所展示的情况。

模型的“痛点”：

这个噪声源 $\overset{―}{i_{n}^{2}}$ 位于电路的“中间”，它产生的噪声会同时影响漏极和源极的电压。当电路变得复杂时，直接计算这个电流源对输出电压 $\overset{―}{v_{n, o u t}^{2}}$ 的具体贡献会比较繁琐。

解决方案：输入参考噪声等效

为了简化分析，我们希望把这个“深埋”在电路内部的噪声源，等效地移动到电路最容易分析的地方——输入端（栅极）。

这就是第二个图所展示的模型。我们把内部的电流源 $\overset{―}{i_{n}^{2}}$ 去掉，换成一个等效的电压源 $\overset{―}{v_{n}^{2}}$ ，串联在栅极输入端。

等效定理的证明

看晶体管的输出电流：我们来比较两种模型下，晶体管产生的输出噪声电流。也就是最右边两个图所展示的。

在原始模型（第三个图）中，噪声源本身就是一个电流源，它就是晶体管产生的全部输出噪声电流。所以：
$\overset{―}{i_{n, o u t 1}^{2}} = \overset{―}{i_{n}^{2}}$
在等效模型（第四个图）中，输入端的噪声电压 $\overset{―}{v_{n}^{2}}$ 会被晶体管放大。根据MOSFET最基本的跨导定义( $i_{o u t} = g_{m} \cdot v_{i n}$ )，这个输入电压会在输出端产生一个漏极电流。所以，输出的噪声电流是：
$\overset{―}{i_{n, o u t 2}^{2}} = g_{m}^{2} \cdot \overset{―}{v_{n}^{2}}$

建立等式：为了让两个模型完全等效，它们产生的输出噪声电流必须相等：

\overset{―}{i_{n, o u t 1}^{2}} = \overset{―}{i_{n, o u t 2}^{2}}

因此：

\overset{―}{i_{n}^{2}} = g_{m}^{2} \cdot \overset{―}{v_{n}^{2}}

得到定理：将上式进行简单的移项，就得到了PPT中的辅助定理：

\overset{―}{V_{n}^{2}} = \frac{\overset{―}{I_{n}^{2}}}{g_{m}^{2}}

我们知道，晶体管的沟道热噪声电流为 $\overset{―}{i_{n}^{2}} = 4 k T γ g_{m}$ 。利用这个辅助定理，我们可以立刻得到它的输入参考噪声电压：

\overset{―}{v_{n}^{2}} = \frac{\overset{―}{i_{n}^{2}}}{g_{m}^{2}} = \frac{4 k T γ g_{m}}{g_{m}^{2}} = \frac{4 k T γ}{g_{m}}

共源极放大器

(a) 电阻负载共源极放大器的输入等效噪声

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = 4 k T (\frac{1}{g_{m}^{2} R_{D}} + \frac{γ}{g_{m}}) + \frac{K}{C_{o x} (W L)_{1}} \frac{1}{f}

推导过程

第一步：识别所有噪声源 这个电路有两个元件产生噪声：NMOS晶体管 M1 和负载电阻 $R_{D}$ 。

晶体管 M1 的噪声：

沟道热噪声：模型为漏源之间的电流源 $\overset{―}{i_{n, M 1}^{2}} = 4 k T γ g_{m 1}$ 。
闪烁噪声：模型为等效到栅极的电压源 $\overset{―}{v_{n, f 1}^{2}} = \frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1} f}$ 。

电阻 $R_{D}$ 的噪声：

热噪声：模型为与 $R_{D}$ 串联的电压源 $\overset{―}{v_{n, R D}^{2}} = 4 k T R_{D}$ 。

第二步：计算各噪声源在输出端的贡献

$R_{D}$ 的贡献：它的噪声电压源就在输出端，所以它对输出噪声的贡献就是其自身：

S_{v, o u t, R D} (f) = \overset{―}{v_{n, R D}^{2}} = 4 k T R_{D}

M1 沟道热噪声的贡献：M1 的噪声电流 $\overset{―}{i_{n, M 1}^{2}}$ 流过输出电阻 $R_{D}$ （在忽略 $R_{D}$ 时），产生输出噪声电压：

S_{v, o u t, M 1, t h} (f) = \overset{―}{i_{n, M 1}^{2}} \cdot R_{D}^{2} = (4 k T γ g_{m 1}) R_{D}^{2}

M1 闪烁噪声的贡献：M1 的输入参考闪烁噪声电压 $\overset{―}{v_{n, f 1}^{2}}$ 会被电路放大。我们需要先计算电路增益。

电压增益 $A_{v} = - g_{m 1} R_{D}$ 。
因此，闪烁噪声在输出端的贡献为：
$S_{v, o u t, M 1, f} (f) = \overset{―}{v_{n, f 1}^{2}} \cdot A_{v}^{2} = (\frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1} f}) \cdot (- g_{m 1} R_{D})^{2}$

第三步：计算总输出噪声 将以上三项不相关的噪声功率相加：

S_{v, o u t, t o t a l} (f) = S_{v, o u t, R D} (f) + S_{v, o u t, M 1, t h} (f) + S_{v, o u t, M 1, f} (f)

S_{v, o u t, t o t a l} (f) = 4 k T R_{D} + (4 k T γ g_{m 1}) R_{D}^{2} + (\frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1} f}) g_{m 1}^{2} R_{D}^{2}

第四步：折算到输入端 我们将总输出噪声除以增益的平方 $A_{v}^{2} = g_{m 1}^{2} R_{D}^{2}$ ：

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = S_{v, i n} (f) = \frac{S_{v, o u t, t o t a l} (f)}{A_{v}^{2}}

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = \frac{4 k T R_{D} + (4 k T γ g_{m 1}) R_{D}^{2} + (\frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1} f}) g_{m 1}^{2} R_{D}^{2}}{g_{m 1}^{2} R_{D}^{2}}

现在，我们将这个分数拆成三项分别化简：

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = \frac{4 k T R_{D}}{g_{m 1}^{2} R_{D}^{2}} + \frac{4 k T γ g_{m 1} R_{D}^{2}}{g_{m 1}^{2} R_{D}^{2}} + \frac{(\frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1} f}) g_{m 1}^{2} R_{D}^{2}}{g_{m 1}^{2} R_{D}^{2}}

化简后得到：

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = \frac{4 k T}{g_{m 1}^{2} R_{D}} + \frac{4 k T γ}{g_{m 1}} + \frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1} f}

(b) PMOS有源负载共源极放大器的输入有效噪声

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = 4 k T (\frac{γ g_{m 2}}{g_{m 1}^{2}} + \frac{γ}{g_{m 1}}) + \frac{1}{C_{o x}} [\frac{K_{N}}{(W L)_{1}} + \frac{K_{P} g_{m 2}^{2}}{(W L)_{2} g_{m 1}^{2}}] \frac{1}{f}

推导过程

第一步：识别所有噪声源 这个电路有两个晶体管产生噪声：NMOS 输入管 M1 和 PMOS 负载管 M2。

晶体管 M1 (NMOS) 的噪声：

热噪声： $\overset{―}{i_{n, M 1}^{2}} = 4 k T γ g_{m 1}$
闪烁噪声： $\overset{―}{v_{n, f 1}^{2}} = \frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1} f}$

晶体管 M2 (PMOS) 的噪声：

热噪声： $\overset{―}{i_{n, M 2}^{2}} = 4 k T γ g_{m 2}$
闪烁噪声： $\overset{―}{v_{n, f 2}^{2}} = \frac{K_{P}}{C_{o x} (W L)_{2} f}$

第二步：分别计算各噪声源的输入参考噪声 这次我们换一种更直接的思路：分别计算每个管子的噪声折算到输入端的结果，然后相加。

M1 的输入参考噪声：这个最简单，M1 本身就是输入管，它的噪声可以直接用上一节的定理折算到自己的输入端。

热噪声贡献： $\overset{―}{v_{n, i n, M 1, t h}^{2}} = \frac{\overset{―}{i_{n, M 1}^{2}}}{g_{m 1}^{2}} = \frac{4 k T γ g_{m 1}}{g_{m 1}^{2}} = \frac{4 k T γ}{g_{m 1}}$
闪烁噪声贡献： $\overset{―}{v_{n, i n, M 1, f}^{2}} = \overset{―}{v_{n, f 1}^{2}} = \frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1} f}$

M2 的输入参考噪声：M2 是负载，它的噪声首先会体现在输出节点，然后我们再把它折算到整个电路的输入端 $V_{i n}$ 。

M2 的热噪声电流 $\overset{―}{i_{n, M 2}^{2}}$ 和闪烁噪声电流 $\overset{―}{i_{n, f 2, c u r r e n t}^{2}}$ 都直接注入输出节点。
M2 的等效闪烁噪声电流为： $\overset{―}{i_{n, f 2, c u r r e n t}^{2}} = \overset{―}{v_{n, f 2}^{2}} \cdot g_{m 2}^{2} = (\frac{K_{P}}{C_{o x} (W L)_{2} f}) g_{m 2}^{2}$
所以，M2 贡献的总输出噪声电流为：
$S_{i, o u t, M 2} (f) = \overset{―}{i_{n, M 2}^{2}} + \overset{―}{i_{n, f 2, c u r r e n t}^{2}} = 4 k T γ g_{m 2} + (\frac{K_{P}}{C_{o x} (W L)_{2} f}) g_{m 2}^{2}$

第三步：计算总输入参考噪声 将 M1 和 M2 的输入参考噪声贡献相加：

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = (\overset{―}{v_{n, i n, M 1, t h}^{2}} + \overset{―}{v_{n, i n, M 1, f}^{2}}) + \overset{―}{v_{n, i n, M 2}^{2}}

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = (\frac{4 k T γ}{g_{m 1}} + \frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1} f}) + (\frac{4 k T γ g_{m 2}}{g_{m 1}^{2}} + \frac{K_{P} g_{m 2}^{2}}{C_{o x} (W L)_{2} g_{m 1}^{2} f})

最后，将热噪声项和闪烁噪声项分别合并，整理成PPT中的形式，推导完成：

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = 4 k T (\frac{γ g_{m 2}}{g_{m 1}^{2}} + \frac{γ}{g_{m 1}}) + [\frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1}} + \frac{K_{P}}{C_{o x} (W L)_{2}} \frac{g_{m 2}^{2}}{g_{m 1}^{2}}] \frac{1}{f}

共栅极（输入阻抗小，噪声电流不可忽略）

(a) 电阻负载共栅极放大器的输入参考噪声

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = 4 k T \frac{γ g_{m} + 1 / R_{D}}{(g_{m} + g_{m b} + \frac{1}{r_{o}})^{2}} + \frac{K g_{m}^{2}}{C_{o x} (W L)_{1} (g_{m} + g_{m b} + \frac{1}{r_{o}})^{2}} \frac{1}{f}

\overset{―}{I_{n, i n}^{2}} = \frac{4 k T}{R_{D}}

推导过程

第一步：计算放大器的总跨导 $G_{m}$ 总跨导 $G_{m}$ 定义为输出短路电流与输入电压之比 ( $G_{m} = i_{o u t, s c} / v_{i n}$ )。对于包含体效应和沟道长度调制的共栅放大器，其输入电导（即总跨导）为：

G_{m} = g_{m 1} + g_{m b 1} + \frac{1}{r_{o 1}}

这个值代表了电路将输入电压转换成输出电流的能力。

第二步：计算总输出短路噪声电流

M1 的热噪声：M1 的沟道热噪声电流 $\overset{―}{i_{n, M 1}^{2}} = 4 k T γ g_{m 1}$ 直接作为输出电流的一部分。其贡献为：

S_{i, o u t, M 1, t h} (f) = 4 k T γ g_{m 1}

$R_{D}$ 的热噪声： $R_{D}$ 的热噪声电压 $\overset{―}{v_{n, R D}^{2}} = 4 k T R_{D}$ 会产生一个大小为 $v_{n, R D} / R_{D}$ 的噪声电流。其对输出短路电流的贡献为：

S_{i, o u t, R D} (f) = \frac{\overset{―}{v_{n, R D}^{2}}}{R_{D}^{2}} = \frac{4 k T R_{D}}{R_{D}^{2}} = \frac{4 k T}{R_{D}}

M1 的闪烁噪声：M1 的闪烁噪声等效为在栅极的电压源 $\overset{―}{v_{n, f 1}^{2}} = \frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1} f}$ 。这个电压会通过 M1 的跨导 $g_{m 1}$ 转换成一个输出电流。其贡献为：

S_{i, o u t, M 1, f} (f) = \overset{―}{v_{n, f 1}^{2}} \cdot g_{m 1}^{2} = (\frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1} f}) g_{m 1}^{2}

将三者相加，得到总输出短路噪声电流功率谱：

S_{i, o u t, t o t a l} (f) = 4 k T γ g_{m 1} + \frac{4 k T}{R_{D}} + \frac{K_{N} g_{m 1}^{2}}{C_{o x} (W L)_{1} f}

第三步：计算输入参考噪声电压 $\overset{―}{V_{n, i n}^{2}}$ 用总输出噪声电流除以总跨导的平方：

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = \frac{S_{i, o u t, t o t a l} (f)}{G_{m}^{2}} = \frac{4 k T γ g_{m 1} + \frac{4 k T}{R_{D}} + \frac{K_{N} g_{m 1}^{2}}{C_{o x} (W L)_{1} f}}{(g_{m 1} + g_{m b 1} + 1 / r_{o 1})^{2}}

整理成PPT中的形式，推导完成：

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = 4 k T \frac{γ g_{m 1} + 1 / R_{D}}{(g_{m 1} + g_{m b 1} + 1 / r_{o 1})^{2}} + \frac{K_{N} g_{m 1}^{2}}{C_{o x} (W L)_{1} (g_{m 1} + g_{m b 1} + 1 / r_{o 1})^{2}} \frac{1}{f}

(b) Cascode 负载共栅极放大器的输入参考噪声

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = 4 k T \frac{γ g_{m 1} + γ g_{m 2}}{(g_{m 1} + g_{m b 1} + \frac{1}{r_{o 1}})^{2}} + \frac{1}{C_{o x} (g_{m 1} + g_{m b 1} + \frac{1}{r_{o 1}})^{2}} [\frac{K_{N} g_{m 1}^{2}}{(W L)_{1}} + \frac{K_{P} g_{m 2}^{2}}{(W L)_{2}}] \frac{1}{f}

\overset{―}{I_{n, i n}^{2}} = 4 k T γ g_{m 2} + \frac{K_{P} g_{m 2}^{2}}{C_{o x} (W L)_{2}} \frac{1}{f}

推导过程

第一步：识别噪声源 噪声源为 M1 (NMOS) 和 M2 (PMOS)。

第二步：计算总输出短路噪声电流 与(a)类似，我们把所有噪声源贡献的输出短路电流相加。

M1 的噪声 (NMOS)：

热噪声： $S_{i, o u t, M 1, t h} (f) = 4 k T γ g_{m 1}$
闪烁噪声： $S_{i, o u t, M 1, f} (f) = \overset{―}{v_{n, f 1}^{2}} \cdot g_{m 1}^{2} = (\frac{K_{N}}{C_{o x} (W L)_{1} f}) g_{m 1}^{2}$

M2 的噪声 (PMOS)：M2 作为负载，其噪声电流也直接注入输出节点。

热噪声： $S_{i, o u t, M 2, t h} (f) = 4 k T γ g_{m 2}$
闪烁噪声： $S_{i, o u t, M 2, f} (f) = \overset{―}{v_{n, f 2}^{2}} \cdot g_{m 2}^{2} = (\frac{K_{P}}{C_{o x} (W L)_{2} f}) g_{m 2}^{2}$

总输出短路噪声电流为：

S_{i, o u t, t o t a l} (f) = (4 k T γ g_{m 1} + 4 k T γ g_{m 2}) + (\frac{K_{N} g_{m 1}^{2}}{C_{o x} (W L)_{1}} + \frac{K_{P} g_{m 2}^{2}}{C_{o x} (W L)_{2}}) \frac{1}{f}

第三步：计算输入参考噪声电压 $\overset{―}{V_{n, i n}^{2}}$ 同样，除以总跨导 $G_{m}^{2} = (g_{m 1} + g_{m b 1} + 1 / r_{o 1})^{2}$ ：

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = \frac{S_{i, o u t, t o t a l} (f)}{G_{m}^{2}} = \frac{4 k T γ (g_{m 1} + g_{m 2})}{(g_{m 1} + g_{m b 1} + 1 / r_{o 1})^{2}} + \frac{K_{N} g_{m 1}^{2}}{C_{o x} (W L)_{1}} + \frac{K_{P} g_{m 2}^{2}}{C_{o x} (W L)_{2}} \frac{1}{(g_{m 1} + g_{m b 1} + 1 / r_{o 1})^{2} f}

第四步：计算输入参考噪声电流 $\overset{―}{I_{n, i n}^{2}}$ PPT中给出的公式为 $\overset{―}{I_{n, i n}^{2}} = 4 k T γ g_{m 2} + \frac{K_{P} g_{m 2}^{2}}{C_{o x} (W L)_{2} f}$ 。

源跟随器

(a) 电阻负载源极跟随器的输入参考噪声

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = 4 k T (\frac{1}{g_{m}^{2} R_{S}} + \frac{γ}{g_{m}}) + \frac{K}{C_{o x} (W L)_{1}} \frac{1}{f}

推导过程

第一步：识别噪声源及计算增益/输出阻抗

噪声源：

M1 的热噪声：电流源 $\overset{―}{i_{n, M 1}^{2}} = 4 k T γ g_{m 1}$
M1 的闪烁噪声：输入等效电压源 $\overset{―}{v_{n, f 1}^{2}} = \frac{K}{C_{o x} (W L)_{1} f}$
$R_{S}$ 的热噪声：电压源 $\overset{―}{v_{n, R S}^{2}} = 4 k T R_{S}$

输出阻抗 $R_{o u t}$ ： $R_{S}$ 和 $1 / g_{m 1}$ 的并联

R_{o u t} = R_{S} ∥ \frac{1}{g_{m 1}} = \frac{R_{S}}{1 + g_{m 1} R_{S}}

电压增益 $A_{v}$ ：

A_{v} = \frac{g_{m 1} R_{S}}{1 + g_{m 1} R_{S}}

第二步：计算各噪声源在输出端的贡献

M1 热噪声：

S_{v, o u t, M 1, t h} (f) = \overset{―}{i_{n, M 1}^{2}} \cdot R_{o u t}^{2} = (4 k T γ g_{m 1}) {(\frac{R_{S}}{1 + g_{m 1} R_{S}})}^{2}

$R_{S}$ 热噪声：

S_{v, o u t, R S} (f) = \overset{―}{v_{n, R S}^{2}} \cdot {(\frac{1 / g_{m 1}}{R_{S} + 1 / g_{m 1}})}^{2} = (4 k T R_{S}) {(\frac{1}{1 + g_{m 1} R_{S}})}^{2}

M1 闪烁噪声：

S_{v, o u t, M 1, f} (f) = \overset{―}{v_{n, f 1}^{2}} \cdot A_{v}^{2} = (\frac{K}{C_{o x} (W L)_{1} f}) {(\frac{g_{m 1} R_{S}}{1 + g_{m 1} R_{S}})}^{2}

第三步：计算总输入参考噪声

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = \frac{S_{v, o u t, M 1, t h} + S_{v, o u t, R S} + S_{v, o u t, M 1, f}}{A_{v}^{2}}

M1 热噪声部分： $\frac{S_{v, o u t, M 1, t h}}{A_{v}^{2}} = \frac{4 k T γ}{g_{m 1}}$
$R_{S}$ 热噪声部分： $\frac{S_{v, o u t, R S}}{A_{v}^{2}} = \frac{4 k T}{g_{m 1}^{2} R_{S}}$
M1 闪烁噪声部分： $\frac{S_{v, o u t, M 1, f}}{A_{v}^{2}} = \frac{K}{C_{o x} (W L)_{1} f}$

最终结果：

\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = 4 k T (\frac{1}{g_{m 1}^{2} R_{S}} + \frac{γ}{g_{m 1}}) + \frac{K}{C_{o x} (W L)_{1} f}

(b) $\overset{―}{V_{n, i n}^{2}} = 4 k T (\frac{γ g_{m 2}}{g_{m 1}^{2}} + \frac{γ}{g_{m 1}}) + \frac{K_{N}}{C_{o x}} [\frac{1}{(W L)_{1}} + \frac{g_{m 2}^{2}}{(W L)_{2} g_{m 1}^{2}}] \frac{1}{f}$

第九章运算放大器

概述

1. 增益 (Gain) → 决定闭环精度

运放自身的开环增益 ( $A_{0}$ ) 越大，我们搭建的闭环放大电路就越接近理想情况，精度也越高。

闭环系统分析

经典负反馈系统的闭环增益表达式：
$G_{c l} = \frac{V_{o u t}}{V_{i n}} = \frac{A_{0}}{1 + β A_{0}}$
其中， $A_{0}$ 是运放的开环增益（ $O p - A m p$ 本身不加任何反馈时的放大倍数）， $β$ 是反馈系数，由外围的反馈网络（通常是电阻或电容网络）决定。
在一个理想的运放电路中，我们期望 $A_{0}$ 是无穷大，这样上面的公式就简化为：
$G_{c l} \approx \frac{A_{0}}{β A_{0}} = \frac{1}{β}$
这意味着闭环增益完全由外部的无源器件（电阻、电容）决定，非常稳定和精确。

贡献者

Tuntun Yuchiha

文件历史

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STMduino Framework

Arduino

SMC

Literature review

Preparation

Research Question 01

Analysis of Variable Relationships

🌟 Astrophysics

​​School of Integrated Circuits

Homework Review ​

第二章 MOS器件基础 ​

第三章 单级放大器 ​

第五章 电流镜与偏置技术 ​

Razavi 习题 ​

Knowledge summary ​

第三章 单级放大器 ​

共源极放大器 ​

电阻负载 ​

第七章 噪声 ​

噪声的统计特性 ​

电路中的噪声表示 ​

单级放大器 ​

共源极放大器 ​

共栅极（输入阻抗小，噪声电流不可忽略） ​

源跟随器 ​

第九章 运算放大器 ​

概述 ​

贡献者 ​

文件历史 ​

School of Integrated Circuits

Homework Review

第二章 MOS器件基础

第三章单级放大器

第五章电流镜与偏置技术

Razavi 习题

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第三章单级放大器

共源极放大器

电阻负载

第七章噪声

噪声的统计特性

电路中的噪声表示

单级放大器

共源极放大器

共栅极（输入阻抗小，噪声电流不可忽略）

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